Остроугольный треугольник $$ABC$$, высоты которого пересекаются в точке $$H$$, вписан в окружность с центром $$O$$. Пусть $$P$$ - точка на окружности, диаметрально противоположная точке $$A$$. а) Докажите, что $$\angle PBA=\angle PCA=90^\circ$$. б) Докажите, что четырёхугольник $$PBHC$$ - параллелограмм. в) Докажите, что расстояние от точки $$O$$ до стороны $$BC$$ вдвое меньше, чем AH.

а) Так как $P$ - диаметрально противоположная точке $A$, то угол $APB$ - прямой. Так как треугольник $ABC$ остроугольный, то угол $ACB$ тоже прямой. Значит, углы $PBA$ и $PCA$ также равны 90 градусов.

б) Так как углы $PBA$ и $PCA$ равны 90 градусов, то четырёхугольник $PBHC$ - параллелограмм. Действительно, углы $PBA$ и $HCB$ равны, так как они дополняют друг друга до 180 градусов, а углы $PCA$ и $HBC$ также равны по той же причине.

в) Рассмотрим треугольники $AHO$ и $ABC$. Так как углы $AHO$ и $ABC$ прямые, то данные треугольники подобны. Тогда $\frac{AH}{AB}=\frac{OH}{BC}$. Так как $AB=BC$ (так как это радиус окружности), то $AH=2OH$. Таким образом, расстояние от точки $O$ до стороны $BC$ вдвое меньше, чем $AH$.