Напиши подробную теорию по комплексным числам

Комплексные числа - это числа, которые представляются в виде суммы действительной и мнимой части. Они имеют вид a + bi, где a - действительная часть, b - мнимая часть, а i - мнимая единица, которая определяется как i^2 = -1.

Комплексные числа обладают рядом свойств, которые делают их очень полезными в математике и физике. Например, они позволяют решать уравнения, которые не имеют решения в действительных числах, такие как уравнение x^2 + 1 = 0.

Операции с комплексными числами включают сложение, вычитание, умножение и деление. Сложение и вычитание комплексных чисел происходит покомпонентно: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Умножение комплексных чисел происходит по формуле (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i. Деление комплексных чисел происходит с использованием сопряженного числа: (a + bi)/(c + di) = ((a + bi)(c - di))/((c + di)(c - di)) = (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc - ad)i/(c^2 + d^2).

Комплексные числа также могут быть представлены в полярной форме, где комплексное число z = a + bi представляется как z = r(cos(theta) + isin(theta)), где r - модуль числа z, theta - аргумент числа z. Это представление удобно для умножения и деления комплексных чисел.

Комплексные числа также имеют геометрическую интерпретацию. Они могут быть представлены как точки на комплексной плоскости, где действительная часть - это координата по оси x, а мнимая часть - по оси y. Сложение комплексных чисел соответствует векторному сложению на плоскости.

Таким образом, комплексные числа играют важную роль в математике и физике, позволяя решать разнообразные задачи и уравнения, которые не могут быть решены с помощью действительных чисел.