Концы равных перпендикулярных отрезков A B и CD принадлежат параллельным плоскостям α и β ( A ∈ α , C ∈ α , B ∈ β , D ∈ β ) , A C = 6 c m , B D = 10 c m . Найдите расстояние между плоскостями α и β , если плоскость,

содержащая отрезок AB , перпендикулярна плоскости α .

Поскольку отрезок AB перпендикулярен плоскости α , то вектор AB будет перпендикулярен вектору нормали n плоскости α . Таким образом, вектор AB будет коллинеарен вектору нормали n , а значит, вектор AB будет пропорционален вектору нормали n .

Так как отрезок AB коллинеарен вектору нормали n , то вектор AB можно представить как AB

k n , где k

• коэффициент пропорциональности.

Так как вектор AB равен вектору CD , то k n

C D , откуда k

C D / n .

Теперь найдем вектор нормали n . Поскольку отрезок AC лежит в плоскости α , то вектор AC будет коллинеарен вектору нормали n . Таким образом, вектор AC можно представить как AC

m n , где m

• коэффициент пропорциональности.

Так как A C

6 , то m n

6 , откуда m

6 / n .

Таким образом, вектор нормали n можно представить как n

( 6 / n ) n

6 .

Теперь найдем расстояние между плоскостями α и β . Расстояние между плоскостями равно модулю проекции вектора нормали n на вектор, коллинеарный отрезку BD .

Проекция вектора n на вектор BD равна n ∙ BD / | BD | , где ∙

• скалярное произведение векторов.

Так как BD

10 , то расстояние между плоскостями α и β равно | n ∙ BD | / | BD |

| 6 ∙ 10 | / 10

6 .

Итак, расстояние между плоскостями α и β равно 6 см.