Дана матрица 𝐴 = ( 7 8 1 3 − 12 3 8 4 5 ) Назовём действительное число 𝑥 x вырождающим, если найдётся такая матричная единица Eij , что матрица A − xEij является вырожденной. Найдите сумму всех вырождающих чисел.

Для того чтобы матрица A - xEij была вырожденной, определитель этой матрицы должен быть равен нулю.

Пусть Eij - это матрица, у которой на позиции (i, j) стоит 1, а все остальные элементы равны 0. Тогда матричная единица Eij имеет вид:

E11 = (1 0 0 0 0 0 0 0 0)

E12 = (0 1 0 0 0 0 0 0 0)

E13 = (0 0 1 0 0 0 0 0 0)

E21 = (0 0 0 1 0 0 0 0 0)

E22 = (0 0 0 0 1 0 0 0 0)

E23 = (0 0 0 0 0 1 0 0 0)

E31 = (0 0 0 0 0 0 1 0 0)

E32 = (0 0 0 0 0 0 0 1 0)

E33 = (0 0 0 0 0 0 0 0 1)

Теперь найдем определитель матрицы A - xEij для каждой матричной единицы и приравняем его к нулю:

1. A - xE11: | 7-x 8 1 | | 3 -12 3 | | 8 4 5-x | = (7-x)(-12)(5-x) - 8(3)(8) - 1(3)(4) = -12x^2 + 47x - 36 = 0

2. A - xE12: | 7 8 1 | | 3-x -12 3 | | 8 4 5-x | = 7(-12)(5-x) - (3-x)(8)(8) - 1(3)(4) = 96x - 287 = 0

3. A - xE13: | 7 8 1 | | 3 -12-x 3 | | 8 4 5 | = 7(-12-x)(5) - 8(3)(8) - 1(3)(4) = -12x^2 - 47x + 36 = 0

4. A - xE21: | 7 8 1 | | 3 -12 3 | | 8-x 4 5 | = 7(-12)(5) - 8(3)(3) - 1(8-x)(4) = -12x^2 + 47x - 36 = 0

5. A - xE22: | 7 8 1 | | 3 -12 3 | | 8 4-x 5 | = 7(-12)(5) - 3(8)(3) - 1(4-x)(8) = -12x^2 + 47x - 36 = 0

6. A - xE23: | 7 8 1 | | 3 -12 3 | | 8 4 5-x | = 7(-12)(5) - 8(3)(3) - 1(4)(5-x) = -12x^2 + 47x - 36 = 0

7. A - xE31: | 7 8 1 | | 3 -12 3 | | 8 4 5 | = 7(-12)(5) - 3(8)(8) - 1(4)(5-x) = -12x^2 + 47x - 36 = 0

8. A - xE32: | 7 8 1 | | 3 -12 3 | | 8 4 5-x | = 7(-12)(5) - 8(3)(8) - 1(5-x)(4) = -12x^2 + 47x - 36 = 0

9. A - xE33: | 7 8 1 | | 3 -12 3 | | 8 4 5-x | = 7(-12)(5) - 3(8)(8) - 1(4)(5) = -12x^2 + 47x - 36 = 0

Решив уравнения -12x^2 + 47x - 36 = 0, получим два корня: x1 = 3/4 и x2 = 3. Сумма всех вырождающих чисел равна x1 + x2 = 3/4 + 3 = 15/4.