Задание 4. Вершины четырёхугольника имеют координаты K (0; 1), L (−2; 4), M (4; 8), N (6; 5). Докажите, что данный четырёхугольник является прямоугольником (15 баллов). Найдите косинус угла между его диагоналями (15 баллов). Найдите площадь прямоугольника (10 баллов).

1. Для доказательства того, что данный четырёхугольник является прямоугольником, нужно проверить, что все углы этого четырёхугольника прямые.

Для этого вычислим углы между сторонами KL, LM, MN и NK.

Вектор KL = L - K = (-2 - 0; 4 - 1) = (-2; 3) Вектор LM = M - L = (4 - (-2); 8 - 4) = (6; 4) Вектор MN = N - M = (6 - 4; 5 - 8) = (2; -3) Вектор NK = K - N = (0 - 6; 1 - 5) = (-6; -4)

Теперь найдем скалярные произведения векторов KL и LM, LM и MN, MN и NK, NK и KL:

KL * LM = (-2)(6) + (3)(4) = -12 + 12 = 0 LM * MN = (6)(2) + (4)(-3) = 12 - 12 = 0 MN * NK = (2)(-6) + (-3)(-4) = -12 + 12 = 0 NK * KL = (-6)(-2) + (-4)(3) = 12 - 12 = 0

Таким образом, все углы между сторонами четырёхугольника равны 90 градусов, следовательно, данный четырёхугольник является прямоугольником.

2. Найдем косинус угла между диагоналями прямоугольника.

Диагонали прямоугольника KL и MN делят его на четыре прямоугольных треугольника. Посмотрим на один из таких треугольников, например, KLN.

Для нахождения косинуса угла между диагоналями воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами: cos(α) = (KL * MN) / (|KL| * |MN|), где α - угол между векторами KL и MN.

|KL| = √((-2)^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13 |MN| = √(2^2 + (-3)^2) = √(4 + 9) = √13

cos(α) = (0) / (√13 * √13) = 0

Таким образом, косинус угла между диагоналями прямоугольника равен 0.

3. Найдем площадь прямоугольника.

Для нахождения площади прямоугольника воспользуемся формулой: S = |KL| * |MN| / 2

S = √13 * √13 / 2 = 13 / 2 = 6.5

Площадь прямоугольника равна 6.5.