Вершины четырёхугольника имеют координаты K (0; 1), L (−2; 4), M (4; 8), N (6; 5). Докажите, что данный четырёхугольник является прямоугольником (15 баллов). Найдите косинус угла между его диагоналями (15 баллов). Найдите площадь прямоугольника (10 баллов).

1. Для того чтобы доказать, что данный четырёхугольник является прямоугольником, нужно проверить, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Для этого вычислим векторы, соединяющие противоположные вершины:

Вектор KL = L - K = (-2 - 0; 4 - 1) = (-2; 3) Вектор MN = N - M = (6 - 4; 5 - 8) = (2; -3)

Для того чтобы диагонали были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно 0:

KL * MN = (-2)(2) + (3)(-3) = -4 - 9 = -13 ≠ 0

Таким образом, данный четырёхугольник не является прямоугольником.

2. Для нахождения косинуса угла между диагоналями воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами:

cos(α) = (KL * MN) / (|KL| * |MN|)

|KL| = √((-2)^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13 |MN| = √(2^2 + (-3)^2) = √(4 + 9) = √13

cos(α) = -13 / (√13 * √13) = -13 / 13 = -1

Таким образом, косинус угла между диагоналями равен -1.

3. Площадь прямоугольника можно найти, используя формулу площади как половину модуля векторного произведения двух его сторон:

S = 0.5 * |KL x MN| = 0.5 * |(-2)(3) - (2)(-3)| = 0.5 * |-6 + 6| = 0.5 * 0 = 0

Таким образом, площадь данного прямоугольника равна 0.