В угол с вершиной A вписаны две непересекающиеся окружности с центрами P и Q. На одной стороне угла отмечена точка E, а на другой - точка F такие, что прямая EF касается обеих окружностей. a) Докажите, что около четырёхугольника EPFQ можно описать окружность. б) Пусть прямая EF касается окружностей в точках C и B. Найдите CB, если PQ=29, а радиусы окружностей равны 5 и 15.

а) Поскольку прямая EF касается обеих окружностей, то угол EPF равен сумме половин сопряженных углов при вершинах E и F, то есть углов EPC и FPB. Но углы EPC и FPB равны углам EPC и FPQ, так как треугольники EPQ и FPQ равны по стороне и двум углам. Значит, угол EPF равен углу EPQ. Аналогично доказывается, что угол EFQ равен углу EQP. Таким образом, углы EPF и EQF равны углам EPQ и EQP, значит, четырёхугольник EPFQ описывается окружностью.

б) Поскольку прямая EF касается окружностей в точках C и B, то CB - сумма радиусов окружностей, то есть CB = 5 + 15 = 20.