В турнире по футболу команды сыграли по одной игре друг с другом. В результате оказалось, что не было команды, проигравшей все матчи, и у всех команд разное количество очков. Докажите, что были команды, сыгравшие вничью. (В футболе за победу даётся 3 очка, за поражение 0 очков, за ничью 1 очко.)

Предположим, что все команды сыграли без ничьих. Тогда каждая команда выиграла как минимум один матч, так как ни одна команда не проиграла все матчи. Значит, каждая команда имеет как минимум 3 очка (за победу в одном матче).

Так как у всех команд разное количество очков, то как минимум одна команда имеет больше 3 очков. Пусть это команда А. Так как у команды А больше 3 очков, значит она выиграла как минимум два матча. Но так как в турнире была только одна игра между каждой парой команд, то это значит, что команда А выиграла у двух других команд.

Теперь рассмотрим команду В, которая проиграла команде А. У команды В как минимум 3 очка (за победу в одном матче), но так как она проиграла команде А, то у нее не может быть больше 3 очков. Значит, у команды В ровно 3 очка.

Таким образом, команда А имеет больше 3 очков, а команда В имеет ровно 3 очка. Но так как у всех команд разное количество очков, то это означает, что у других команд также должны быть разное количество очков. Таким образом, мы пришли к противоречию, что все команды сыграли без ничьих.

Следовательно, были команды, сыгравшие вничью.