В треугольнике со сторонами шесть, 07:08 вписана окружность. Петя посчитал расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?

Наименьшее из этих расстояний равно радиусу вписанной окружности.

Для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности в треугольнике:

$r = \frac{S}{p},$

где $S$ - площадь треугольника, $p$ - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

где $a, b, c$ - стороны треугольника.

Для треугольника со сторонами 6, 7, 8 имеем:

$p = \frac{6+7+8}{2} = 10.5,$

$S = \sqrt{10.5 \cdot (10.5-6) \cdot (10.5-7) \cdot (10.5-8)} = \sqrt{10.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5} \approx 10.5.$

Теперь можем найти радиус вписанной окружности:

$r = \frac{10.5}{10.5} = 1.$

Следовательно, наименьшее из расстояний от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно 1.