в треугольнике со сторонами 5,6 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее их этих расстояний?

Наименьшее расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно радиусу окружности.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

$r = \frac{S_{\triangle}}{p},$

где $S_{\triangle}$ - площадь треугольника, $p$ - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

$S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

где $a, b, c$ - стороны треугольника.

Полупериметр треугольника:

$p = \frac{a + b + c}{2}.$

Подставляем значения сторон треугольника $a = 5, b = 6, c = 8$:

$p = \frac{5 + 6 + 8}{2} = 9.5.$

$S_{\triangle} = \sqrt{9.5(9.5-5)(9.5-6)(9.5-8)} = \sqrt{9.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5} = \sqrt{238.125} \approx 15.43.$

$r = \frac{15.43}{9.5} \approx 1.62.$

Таким образом, наименьшее расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно примерно 1.62.