В треугольнике со сторонами 4,5 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояние от каждой точки из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?

Наименьшее из этих расстояний равно радиусу вписанной окружности.

Для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности в треугольнике:

$r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}},$

где $a$, $b$, $c$ - стороны треугольника, $p$ - полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника: $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 8}{2} = 8.5.$

Теперь можем найти радиус вписанной окружности: $r = \sqrt{\frac{(8.5-4)(8.5-5)(8.5-8)}{8.5}} = \sqrt{\frac{4.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5}{8.5}} = \sqrt{\frac{7.875}{8.5}} \approx \sqrt{0.926} \approx 0.962.$

Итак, наименьшее из расстояний от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно примерно 0.962.