В треугольнике $$ABC$$ с углами $$\angle A=20^\circ$$ и $$\angle B=40^\circ$$ проведена биссектриса $$CD$$. Докажите, что разность сторон $$AB-AC$$ равна $$CD$$. Указание. Отметьте на стороне $$AB$$ такую точку $$F$$, что $$AF=AC$$.

Обозначим точку пересечения биссектрисы $CD$ с стороной $AB$ за точку $F$, как указано в указании.

Так как $\angle A=20^\circ$ и $\angle B=40^\circ$, то $\angle C=120^\circ$ (сумма углов треугольника равна $180^\circ$).

Также, так как $AF=AC$, то $\angle AFC = \angle ACF = 80^\circ$ (так как треугольник $ACF$ равнобедренный).

Теперь рассмотрим треугольник $CDF$. В нем угол $\angle CDF = \angle CFD = 60^\circ$ (так как треугольник $CDF$ равносторонний).

Из угла $\angle CDF = 60^\circ$ следует, что $\angle CDB = 60^\circ$ (так как отрезок $CD$ является биссектрисой угла $\angle C$).

Таким образом, в треугольнике $CDB$ угол $\angle CDB = 60^\circ$, угол $\angle CBD = 40^\circ$, следовательно, угол $\angle BCD = 80^\circ$.

Так как угол $\angle BCD = \angle ACF = 80^\circ$, то треугольники $ACF$ и $BCD$ подобны по углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение сторон $\frac{AB}{AC} = \frac{CD}{CF}$.

Учитывая, что $AF=AC$, получаем $CF=AB-AC$.

Таким образом, $AB-AC=CF=CD$.

Что и требовалось доказать.