В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и CN. AC=3,AN=1,CM=1,5,. Найдите площадь треугольника BMN.

Поскольку AM и CN - биссектрисы треугольника ABC, то точка M делит сторону AC в отношении AM:MC = AN:CN. Таким образом, AM:1,5 = 1:1,5 => AM = 1, MC = 1,5.

Теперь найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона: p = (AB + BC + AC)/2 = (AM + MC + AC)/2 = (1 + 1,5 + 3)/2 = 2,75 S(ABC) = √(p(p-AB)(p-BC)(p-AC)) = √(2,751,751,25*0,75) = √(2,6953125) ≈ 1,64

Теперь найдем площадь треугольника BMN. Так как AM и CN - биссектрисы, то точка B лежит на биссектрисе угла ACN, а точка N - на биссектрисе угла ACM. Таким образом, треугольник BMN - это треугольник, образованный биссектрисами треугольника ABC и стороной BC.

Так как BMN - это треугольник, образованный биссектрисами треугольника ABC и стороной BC, то BMN - это треугольник, подобный треугольнику ABC. Значит, площадь треугольника BMN равна S(BMN) = S(ABC) * (BN/BC)^2 = 1,64 * (1/3)^2 = 1,64 * 1/9 = 0,1822.

Ответ: площадь треугольника BMN равна 0,1822.