В треугольнике   A B C     𝐴 𝐵 𝐶   на стороне   A C     𝐴 𝐶   отмечена точка D 𝐷 , а на стороне   B C     𝐵 𝐶   отмечена точка   E     𝐸   таким образом, что  A D = D E 𝐴 𝐷 = 𝐷 𝐸 и луч   D B     𝐷 𝐵   является биссектрисой угла A D E 𝐴 𝐷 𝐸 . Отрезки  B D   𝐵 𝐷   и   A E     𝐴 𝐸   пересекаются в точке P 𝑃 . Известно, что площадь треугольника   A B P     𝐴 𝐵 𝑃   в четыре раза меньше площади треугольника A E C 𝐴 𝐸 𝐶 . Найдите отношение площади четырёхугольника   D P E C     𝐷 𝑃 𝐸 𝐶   к площади треугольника A B P 𝐴 𝐵 𝑃 . В ответ запишите число, равное отношению указанных площадей. Если в ответе получается бесконечная дробь, округлите её до десятых по правилам округления.

Отношение площади четырёхугольника   D P E C     𝐷 𝑃 𝐸 𝐶   к площади треугольника A B P 𝐴 𝐵 𝑃 равно 3.5.

Пусть x

A D

D E , тогда A E

2 x и B D

E D

x .

Площадь треугольника A B P     𝐴 𝐵 𝑃   равна 1 2 x 2 sin ( A B P )

1 2 x 2 sin ( 2 A D E )

1 2 x 2 sin ( 4 5 )

1 2 x 2 sin ( 1 8 0 ∘ − 4 5 ∘ )

1 2 x 2 sin ( 7 5 ∘ )

1 2 x 2 sin ( 3 5 ∘ ) .

Площадь треугольника A E C 𝐴 𝐸 𝐶 равна 1 2 2 x 2 sin ( A E C )

1 2 2 x 2 sin ( 2 A D E )

1 2 2 x 2 sin ( 4 5 )

1 2 2 x 2 sin ( 1 8 0 ∘ − 4 5 ∘ )

1 2 2 x 2 sin ( 7 5 ∘ )

1 2 2 x 2 sin ( 3 5 ∘ ) .

Отношение площадей равно 1 2 2 x 2 sin ( 3 5 ∘ ) 1 2 x 2 sin ( 3 5 ∘ )

2

3.5 .

Итак, отношение площади четырёхугольника   D P E C     𝐷 𝑃 𝐸 𝐶   к площади треугольника A B P 𝐴 𝐵 𝑃 равно 3.5.