В треугольник со сторонами 5, 6 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?

Наименьшее из этих расстояний равно радиусу вписанной окружности.

Для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся формулой для площади треугольника через радиус вписанной окружности:

S = p*r,

где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по формуле Герона равна:

S = sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c)),

где a, b, c - стороны треугольника.

Полупериметр треугольника:

p = (a + b + c)/2.

Подставляем известные значения: a = 5, b = 6, c = 8, p = (5 + 6 + 8)/2 = 9.5.

S = sqrt(9.5*(9.5-5)(9.5-6)(9.5-8)) = sqrt(9.54.53.5*1.5) = sqrt(238.5) ≈ 15.45.

Теперь находим радиус вписанной окружности: r = S/p = 15.45/9.5 ≈ 1.63.

Итак, наименьшее из расстояний от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно примерно 1.63.