В треугольник со сторонами 4,5 и 6 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?

Наименьшее из этих расстояний равно радиусу вписанной окружности.

Для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся формулой радиуса вписанной окружности в треугольнике:

$r = \frac{S}{p},$

где $S$ - площадь треугольника, $p$ - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

где $a$, $b$, $c$ - стороны треугольника.

Полупериметр треугольника:

$p = \frac{a+b+c}{2}.$

Подставляем значения сторон треугольника $a=4$, $b=5$, $c=6$:

$p = \frac{4+5+6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5.$

$S = \sqrt{7.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5} = \sqrt{7.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5} = \sqrt{82.03125} \approx 9.06.$

$r = \frac{9.06}{7.5} \approx 1.21.$

Итак, наименьшее из расстояний от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно примерно 1.21.