В треугольник со сторонами 4, 5 и 6 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?

Наименьшее расстояние будет равно радиусу вписанной окружности.

Для нахождения радиуса окружности воспользуемся формулой радиуса вписанной окружности в треугольнике:

r = S / p,

где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где a, b, c - стороны треугольника.

Полупериметр треугольника:

p = (a + b + c) / 2.

Подставляем значения сторон треугольника a = 4, b = 5, c = 6:

p = (4 + 5 + 6) / 2 = 7.5.

S = sqrt(7.5 * (7.5 - 4) * (7.5 - 5) * (7.5 - 6)) = sqrt(7.5 * 3.5 * 2.5 * 1.5) = sqrt(91.875) ≈ 9.58.

r = 9.58 / 7.5 ≈ 1.28.

Итак, наименьшее расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно приблизительно 1.28.