В течении 10 недель студенты сдают 10 экзаменов, в том числе два по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены по неделям так, чтобы экзамены по математике не следовали один за другим?

Для решения этой задачи можно воспользоваться принципом включения-исключения.

Обозначим через A событие, когда оба экзамена по математике следуют друг за другом. Посчитаем количество способов, когда это происходит.

Пусть M1 и M2 - экзамены по математике. Тогда событие A можно представить как одно из следующих вариантов:

1. M1M2XXXXXX
2. XM1M2XXXXX
3. XXXM1M2XXX
4. XXXXM1M2XX
5. XXXXXXM1M2X
6. XXXXXXXM1M2

Где X - другие экзамены, не по математике.

Количество способов для каждого из вариантов:

1. 1 способ
2. 1 способ
3. 1 способ
4. 1 способ
5. 1 способ
6. 1 способ

Итого, общее количество способов, когда оба экзамена по математике следуют друг за другом: 6 способов.

Теперь найдем общее количество способов распределить экзамены без ограничений. Это можно сделать по формуле сочетаний: C(10, 2) * 8! = 45 * 8! = 1814400 способов.

Теперь найдем количество способов, когда оба экзамена по математике следуют друг за другом. Это можно сделать по формуле сочетаний: C(9, 1) * 2! * 7! = 9 * 2 * 7! = 90720 способов.

Используя принцип включения-исключения, найдем итоговый ответ: 1814400 - 90720 + 6 = 1726686 способов.

Итак, существует 1726686 способов распределить экзамены по неделям так, чтобы экзамены по математике не следовали один за другим.