В спортивный клуб ходит 1616 школьников. На каждой тренировке они делятся на 22 команды (не обязательно одинакового размера) и играют в футбол. За какое наименьшее число тренировок можно их разделить на команды так, чтобы любые два школьника хотя бы один раз сыграли в разных командах?

Для того чтобы найти наименьшее число тренировок, на которые можно разделить школьников на команды так, чтобы любые два школьника хотя бы один раз сыграли в разных командах, нужно воспользоваться теорией графов.

Давайте представим каждого школьника в виде вершины графа, а каждую тренировку в виде ребра между двумя вершинами (школьниками), которые играют в одной команде. Таким образом, наш граф будет представлять собой полный граф, где каждая вершина соединена со всеми остальными.

Мы ищем минимальное количество тренировок, на которые можно разделить школьников на команды так, чтобы любые два школьника хотя бы один раз сыграли в разных командах. Это означает, что мы ищем минимальное количество рёбер, которые нужно удалить из полного графа, чтобы он стал двудольным.

Так как у нас есть 1616 школьников, то количество рёбер в полном графе равно C(1616, 2) = 1616 * 1615 / 2 = 1302680.

Для того чтобы граф стал двудольным, необходимо удалить все рёбра, соединяющие вершины внутри одной и той же доли. То есть, нам нужно удалить все рёбра, соединяющие школьников внутри одной и той же команды.

Так как у нас 22 команды, то количество рёбер, которые нужно удалить, равно 22 * C(1616/22, 2) = 22 * 36 * 35 / 2 = 13860.

Следовательно, наименьшее число тренировок, на которые можно разделить школьников на команды так, чтобы любые два школьника хотя бы один раз сыграли в разных командах, равно 1302680 - 13860 = 1288820.