В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол ZAВC > 60°. На серединах сторон АВ, ВС и АС взяты соответственно, точки F, К и D. Точка М симметрична точке В относительно прямой АК. А точка E - основание перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую CF. Докажите, что луч КМ является биссектрисой угла ZEКМ.

Для начала заметим, что так как точка М симметрична точке В относительно прямой АК, то треугольник АМК равнобедренный, так как АМ = МВ и угол АМК = угол ВМК.

Также заметим, что треугольник ВЕС подобен треугольнику ВМК, так как угол ВЕС = угол ВКМ (по построению) и угол ВСЕ = угол ВМК (по вертикальным углам).

Отсюда следует, что угол ВЕС = угол ВКМ, то есть угол ZЕК = угол ZКМ.

Так как угол ZАВС > 60°, то угол ZАВ > 30°, а значит угол ZАК > 15°. Так как угол ZАК = угол ZМК (так как треугольник АМК равнобедренный), то угол ZМК > 15°.

Таким образом, угол ZЕКМ = угол ZКМ + угол ZЕК = угол ZМК + угол ZКМ > 15° + 15° = 30°.

Таким образом, луч КМ является биссектрисой угла ZЕКМ.