В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании AC равны 80 ° , боковая сторона A B = 1 + 2 cos ( 20 ° ) . На сторонах AB и BC выбраны точки E и D соответственно, причем угол CAD равен 50 ° , а угол ACE равен 60 ° . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CED.

Для начала найдем сторону BC равнобедренного треугольника ABC. Из условия углов мы знаем, что угол BAC = 180° - 2*80° = 20°. Так как угол ABC = ACB = 80°, то треугольник ABC является равносторонним. Следовательно, сторона BC равна AB = 1 + 2cos(20°).

Теперь построим треугольник CED. Из углов CAD = 50° и ACE = 60° следует, что угол CED = 70°. Так как угол CED = 70°, то угол CBD = 180° - 70° = 110°. Из закона синусов для треугольника BCD:

BC/sin(110°) = BD/sin(20°)

BD = BC*sin(20°)/sin(110°) = (1 + 2cos(20°))*sin(20°)/sin(110°)

Теперь найдем радиус окружности, описанной около треугольника CED. Радиус окружности, описанной около треугольника CED, равен половине длины стороны CD. Из закона косинусов для треугольника CED:

CD^2 = CE^2 + DE^2 - 2CEDE*cos(70°)

CD = sqrt(CE^2 + DE^2 - 2CEDE*cos(70°))

CD = sqrt(1 + 2cos(20°)^2 - 2*cos(20°)BDcos(70°))

CD = sqrt(1 + 4cos(20°)^2 - 4cos(20°)*sin(20°)*cos(70°)/sin(110°))

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника CED, равен половине длины стороны CD:

R = CD/2 = 0.5*sqrt(1 + 4cos(20°)^2 - 4cos(20°)*sin(20°)*cos(70°)/sin(110°))