В R^n дана система, состоящая из m векторов и имеющая ранг k. У векторов этой системы случайным образом изменили координаты с номерами 0 ≤ a_1 <...< a_d ≤ n. Какой ранг возможен у полученной системы?

После изменения координат у векторов системы, их линейная независимость может быть нарушена. Таким образом, ранг полученной системы может быть любым числом от 0 до min(k, m), где k - исходный ранг системы, а m - количество векторов в системе.

Если изменены координаты всех векторов, то полученная система будет линейно независимой и ее ранг будет равен min(k, m).

Если изменены координаты только одного из векторов, то ранг полученной системы будет равен k - 1, если этот вектор был линейно независимым от остальных, и k, если этот вектор был линейно зависимым от остальных.

Таким образом, возможные значения ранга полученной системы будут в диапазоне от 0 до min(k, m).