В прямоугольном треугольнике АВС на катетах АС и ВС взяты точки Р и Q соответственно так, что ∠ P B C = 1 3 ∠ A B C и ∠ Q A C = 1 3 ∠ B A C . Отрезки AQ и ВР пересекаются в точке Т. Найдите ТР, если TQ = 12 см.

Из условия задачи имеем: ∠PBC = 1/3 ∠ABC и ∠QAC = 1/3 ∠BAC.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то ∠ABC = 90°, следовательно, ∠PBC = 30° и ∠QAC = 30°.

Так как ∠ABC = 90°, то ∠BAC = 180° - 90° - ∠ABC = 90°.

Так как ∠QAC = 30° и ∠BAC = 90°, то ∠TAQ = 90° - 30° = 60°.

Так как ∠PBC = 30° и ∠ABC = 90°, то ∠BPC = 90° - 30° = 60°.

Так как ∠TAQ = 60° и ∠BPC = 60°, то треугольники TAQ и BPC подобны по углам, следовательно, отношение сторон равно отношению сторон: TQ/TP = AQ/BP.

Из условия TQ = 12 см, AQ = AC = 12√2 см (так как треугольник прямоугольный), BP = BC = 12 см.

Тогда TQ/TP = 12/TP = 12√2/12, откуда TP = 12/√2 = 6√2.

Итак, ТР = 6√2 см.