В пространстве V3 фиксирована правая декартова система координат (O,ı⃗ ,ȷ⃗ ,k⃗ ). Даны вершины тетраэдра: A(2,4,−5),B(0,14,−6),C(1,4,−6) и D(4,−1,−4). Найти длину H его высоты, опущенной из вершины D.

Для нахождения длины высоты тетраэдра, опущенной из вершины D, нужно найти расстояние от точки D до плоскости, проходящей через вершины A, B и C.

Уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C, можно найти с помощью векторного произведения векторов AB и AC.

Вектор AB = B - A = (0-2, 14-4, -6+5) = (-2, 10, -1) Вектор AC = C - A = (1-2, 4-4, -6+5) = (-1, 0, -1)

Найдем векторное произведение векторов AB и AC: n⃗ = AB x AC = i⃗ (10*(-1) - (-1)0) - ȷ⃗ ((-2)(-1) - (-1)*(-1)) + k⃗ ((-2)0 - 10(-1)) n⃗ = i⃗ (-10) - ȷ⃗ (-1) + k⃗ (-10) n⃗ = (-10, -1, -10)

Уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C, имеет вид: -10(x-2) - (y-4) - 10(z+5) = 0 -10x + 20 - y + 4 - 10z - 50 = 0 -10x - y - 10z - 26 = 0 10x + y + 10z + 26 = 0

Теперь найдем расстояние от точки D до плоскости: d = |104 + (-1) + 10(-4) + 26| / √(10^2 + 1 + 10^2) d = |40 - 1 - 40 + 26| / √(100 + 1 + 100) d = |25| / √201 d = 25 / √201

Таким образом, длина высоты тетраэдра, опущенной из вершины D, равна 25 / √201.