В пространстве фиксирована правая декартова система координат (O,ı⃗ ,ȷ⃗ ,k⃗ ). Составьте уравнение плоскости L , которая проходит через точку M0(5;−1;5) параллельно двум векторам a1→={4;−1;−2}, a2→={5;1;3}. Уравнение плоскости L

имеет вид:

L: (r - r0) * n = 0,

где r = (x, y, z) - произвольная точка плоскости L, r0 = (5, -1, 5) - заданная точка M0, n - нормаль к плоскости L.

Так как плоскость проходит через точку M0(5; -1; 5), то вектор из этой точки в произвольную точку (x, y, z) на плоскости будет равен (x - 5, y + 1, z - 5).

Также, так как плоскость параллельна векторам a1→={4;−1;−2} и a2→={5;1;3}, их векторное произведение будет нормалью к плоскости L:

n = a1→ x a2→ = det(i, j, k; 4, -1, -2; 5, 1, 3) = (1, -7, 9).

Таким образом, уравнение плоскости L будет иметь вид:

(1, -7, 9) * (x - 5, y + 1, z - 5) = 0, x - 5 - 7(y + 1) + 9(z - 5) = 0, x - 7y + 9z - 47 = 0.