В правильной треугольной призме TSRT1S1R1 точка P - середина ребра T1R1 , а точка O - точка пересечения диагоналей боковой грани TSS1T1 . Известно, что сторона основания призмы равна 2 , а боковое ребро 6 . а) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника, являющегося сечением призмы TSRT1S1R1 плоскостью TPS , лежит на отрезке OR1 . б) Найдите угол между прямой OR1 и плоскостью TPS .

а) Поскольку точка P - середина ребра T1R1, то PT1 = PR1. Также из условия известно, что сторона основания призмы TSRT1S1R1 равна 2, а боковое ребро 6. Тогда PT1 = PR1 = 3. Таким образом, треугольник T1PR1 равнобедренный, а значит, высота из вершины P делит основание T1R1 пополам и проходит через точку O.

Также известно, что точка O - точка пересечения диагоналей боковой грани TSS1T1. Поскольку TSS1T1 - прямоугольный треугольник, то точка O лежит на гипотенузе T1S1. Таким образом, точка O лежит на отрезке OR1, который является продолжением отрезка PR1. Следовательно, точка пересечения диагоналей четырехугольника TPS лежит на отрезке OR1.

б) Угол между прямой OR1 и плоскостью TPS равен углу между прямой OR1 и нормалью к плоскости TPS. Нормаль к плоскости TPS совпадает с направляющим вектором прямой PT1, так как прямая PT1 лежит в плоскости TPS. Найдем направляющий вектор прямой PT1.

Вектор PT1 = (T1 - P) = (0, 3, 0) - (0, 0, 0) = (0, 3, 0) Вектор OR1 = (R1 - O) = (2, 0, 0) - (1, 1, 0) = (1, -1, 0)

Угол между векторами найдем по формуле скалярного произведения: cos(угол) = (PT1 * OR1) / (|PT1| * |OR1|) = (01 + 3(-1) + 0*0) / (sqrt(0^2 + 3^2 + 0^2) * sqrt(1^2 + (-1)^2 + 0^2)) = -3 / (3 * sqrt(2)) = -1 / sqrt(2)

Таким образом, угол между прямой OR1 и плоскостью TPS равен arccos(-1/sqrt(2)).