В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны 18. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых ребер.

Площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых ребер, можно найти, разбив пирамиду на две части - верхнюю и нижнюю, сечение которых образует прямоугольный треугольник.

Для начала найдем высоту пирамиды. Так как все ребра равны 18, то боковое ребро пирамиды можно разделить на две равные части, которые будут равны по теореме Пифагора:

$a^2 = c^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2$

$a^2 = c^2 - \frac{c^2}{4}$

$a^2 = \frac{3c^2}{4}$

$a = \frac{\sqrt{3}c}{2}$

Теперь найдем площадь сечения пирамиды. Площадь прямоугольного треугольника равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c$

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}c}{2} \cdot c$

$S = \frac{\sqrt{3}c^2}{4}$

Подставляя значение $c = 18$, получаем:

$S = \frac{\sqrt{3} \cdot 18^2}{4} = \frac{\sqrt{3} \cdot 324}{4} = \frac{324\sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3}$

Итак, площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых ребер, равна $81\sqrt{3}$.