В остроугольном треугольнике ABC провели высоты BB1 и CC1 . Точки M и N являются серединами сторон AC и AB соответственно. Прямая C1M повторно пересекает описанную окружность треугольника BCC1 в точке X . Точка O является центром описанной окружности треугольника B1MX . Найдите ON , если AB=10 , B1M=3 , ∠A=60∘ .

Для начала заметим, что треугольники ABC и B1MX подобны, так как у них соответственные углы равны (угол A и угол B1MX равны, угол B и угол BMX равны, угол C и угол XMB равны).

Из подобия треугольников ABC и B1MX можем записать пропорцию сторон:

AB/B1M = AC/BM = BC/BX

10/3 = AC/3 = BC/BX

Отсюда получаем, что AC = 10 и BC = 10√3.

Так как AC = 10, то AM = MC = 5.

Также заметим, что угол C1MX равен углу CB1X (углы, опирающиеся на одной дуге CX описанной окружности), а значит они равны 60 градусов.

Так как угол B1MX = 90 градусов (поскольку BM - высота треугольника ABC), то угол B1CX = 30 градусов (так как треугольник B1MX - равнобедренный).

Теперь заметим, что треугольник B1CX - равносторонний, так как угол B1CX = 30 градусов и угол BCX = 60 градусов.

Таким образом, BC = BX = 10√3.

Теперь можем найти радиус описанной окружности треугольника B1MX:

R = BX/2 = 10√3/2 = 5√3

Так как O - центр описанной окружности треугольника B1MX, то ON = R = 5√3.

Итак, ON = 5√3.