В линейном пространстве V3 фиксирована правая декартова система координат (O,ı⃗ ,ȷ⃗ ,k⃗ ). Даны вершины треугольника ABC A(−47;5;3), B(−1;−3;−1) и C(−46;9;2). Записать уравнения высоты треугольника АВС, опущенного из точки B(−1;−3;−1) на сторону AC.

Для того чтобы найти уравнение высоты треугольника АВС, опущенной из точки B на сторону AC, нужно найти уравнение прямой, проходящей через точку B и перпендикулярной плоскости треугольника АС.

1. Найдем вектор, параллельный стороне AC: AC = C - A = (-46 + 47; 9 - 5; 2 - 3) = (1; 4; -1)

2. Найдем нормаль к плоскости треугольника АС: n = AB x AC = ((-1 + 47); (-3 - 5); (-1 - 3)) x (1; 4; -1) = (46; -8; 2)

3. Уравнение плоскости треугольника АС: 46(x + 47) - 8(y - 5) + 2(z - 3) = 0 46x + 46*47 - 8y + 40 + 2z - 6 = 0 46x - 8y + 2z + 2168 - 6 = 0 46x - 8y + 2z + 2162 = 0

4. Уравнение прямой, проходящей через точку B и перпендикулярной плоскости треугольника АС: (x + 1)/46 = (y + 3)/(-8) = (z + 1)/2

Таким образом, уравнение высоты треугольника АВС, опущенной из точки B на сторону AC, будет: 46x - 8y + 2z + 2162 = 0 (x + 1)/46 = (y + 3)/(-8) = (z + 1)/2