В классном журнале записаны по алфавиту фамилии 18 учеников. Когда учитель проводит опрос, он вызывает некоторых учеников. Учитель никогда не вызывает двух учеников, чьи фамилии записаны подряд. Но среди невызванных не бывает больше двух учеников, чьи фамилии записаны подряд. Сколько разных вариантов существует для проведения опроса?

Для решения этой задачи можно воспользоваться принципом индукции.

Пусть у нас есть $n$ учеников. Рассмотрим два случая:

1. Если последний ученик вызван на опрос, то перед ним не может быть двух учеников, чьи фамилии записаны подряд. Тогда перед предпоследним учеником может быть либо один ученик, либо ни одного. Поэтому количество вариантов для проведения опроса в этом случае равно количеству вариантов для проведения опроса с $n-2$ учениками.

2. Если последний ученик не вызван на опрос, то перед ним обязательно должен быть вызван один из двух предыдущих учеников. Тогда количество вариантов для проведения опроса в этом случае равно количеству вариантов для проведения опроса с $n-1$ учениками.

Таким образом, общее количество вариантов для проведения опроса с $n$ учениками равно сумме количества вариантов для проведения опроса с $n-1$ учениками и количества вариантов для проведения опроса с $n-2$ учениками.

Из этого следует, что количество вариантов для проведения опроса с 18 учениками равно числу Фибоначчи для $n=18$, то есть $F_{18}=2584$.

Таким образом, существует 2584 различных варианта для проведения опроса.