В каждой клетке шахматной доски стоит нуль. Петя и Вася играют в игру. Ходят по очереди, начинает Петя. Петя каждым своим ходом выбирает какой-то квадрат из четырех клеток и к каждому из чисел, стоящих в этом квадрате, прибавляет нуль или единицу, по своему выбору (выбор для каждой из четырех клеток совершается отдельно, то есть может случиться, что в некоторых клетках прибавляется нуль, а в некоторых — единица). Вася своим ходом выбирает какую-то клетку и прибавляет к стоящему в ней числу нуль или единицу, по своему выбору. Петя хочет, чтобы после 2024-го хода (т. е., после того как он и Вася сделают по 1012 ходов) на доске было как можно больше нечетных чисел. Какое наибольшее количество нечетных чисел он может получить независимо от действий Васи?

Пете нужно стремиться к тому, чтобы после каждого своего хода в каждой клетке было нечетное число. Для этого он должен выбирать квадраты из клеток таким образом, чтобы после его хода в каждой клетке было нечетное число.

Петя может выбрать квадрат из клеток размером 2x2 и прибавить к каждой клетке в этом квадрате по единице. Таким образом, после каждого такого хода у него будет 4 нечетных числа на доске.

Таким образом, Петя может получить максимум 4 * 1012 = 4048 нечетных чисел на доске, независимо от действий Васи.