В день весеннего равноденствия улитка смотрела на Солнце в отражении от окон высокого дома. Она находилась на экваторе и стала двигаться вдоль него так, чтоб яркое пятно Солнца в окне дома оставалось все время в одной и той же точке на высоте полутора метров. Поначалу ей это удавалось, однако поскольку она не могла развить скорость больше, чем vmax = 10 см/мин, в какой-то момент пятно начало съезжать. Определите, на каком расстоянии от дома в этот момент находилась улитка. Примечание: можете пользоваться приближенной формулой (см. рисунок), справедливой, если ∆φ измерено в радианах и достаточно мало. Ответ выразите в метрах и округлите до сотых.

Для решения задачи воспользуемся геометрическими соображениями. Пусть расстояние от улитки до дома в момент, когда пятно начало съезжать, равно x метров. Тогда угол между направлением на Солнце и горизонтом равен φ = arctan(1.5/x).

Поскольку улитка двигается вдоль экватора, её скорость можно представить как проекцию скорости на экватор и на радиус. Таким образом, скорость улитки равна v = vmax * cos(φ).

Так как пятно начало съезжать, то производная угла φ по времени равна нулю: dφ/dt = 0. Поэтому v = vmax * cos(φ) = const.

Из этого следует, что vmax * cos(arctan(1.5/x)) = vmax * cos(arctan(1.5/x0)), где x0 - начальное расстояние от улитки до дома.

Таким образом, cos(arctan(1.5/x)) = cos(arctan(1.5/x0)).

Используя тригонометрические тождества, получаем: x = x0 * sqrt((1 + 1.5^2/x0^2)/(1 + 1.5^2/x^2)).

Подставляя x0 = 1.5 м и vmax = 10 см/мин, получаем x = 1.5 * sqrt((1 + 1.5^2/1.5^2)/(1 + 1.5^2/(10/6)^2)) ≈ 1.88 м.

Ответ: улитка находилась на расстоянии примерно 1.88 м от дома.