Целые числа x, y, z, t таковы, что x+y+z+t = 0. Сколько различных натуральных значений, не превосходящих 10000, может принимать число (xy–zt)(xz–yt)(yz–xt)?

Пусть S = (xy–zt)(xz–yt)(yz–xt). Заметим, что S = -xyz(x+y+z+t), так как x+y+z+t = 0. Также заметим, что S является симметричной функцией относительно переменных x, y, z, t.

Таким образом, S = -xyz(x+y+z+t) = xyz(x+y+z+t) = -xyzt. Так как x, y, z, t - целые числа, то S также является целым числом.

Теперь рассмотрим возможные значения S. Поскольку x, y, z, t - натуральные числа, то S будет отрицательным. Поскольку x, y, z, t не превосходят 10000, то |S| не превосходит 10000^4 = 10^16.

Таким образом, S может принимать значения от -10000^4 до -1. Поскольку S является симметричной функцией, то количество различных натуральных значений, которые S может принимать, равно количеству натуральных значений от 1 до 10000, то есть 10000.