Тонкий однородный стержень длиной l = 1м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точкуО на стержне. Стержень отклонили от вертикали на угол α = π/3 и отпустили. Определите угловую скорость стержня и линейную скорость точкиВ на стержне в момент прохождения имположения равновесия.

Для нахождения угловой скорости стержня в момент прохождения имположения равновесия воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть момент инерции стержня относительно оси вращения равен I, тогда энергия механической системы в начальный момент времени (когда стержень отклонен на угол α) равна потенциальной энергии:

E = mgh = Iω^2/2,

где m - масса стержня, g - ускорение свободного падения, h - высота центра масс стержня над точкой О, ω - угловая скорость стержня.

После отпускания стержня его кинетическая энергия равна потенциальной энергии в момент прохождения имположения равновесия:

mgl*cos(α) = Iω^2/2.

Отсюда находим угловую скорость стержня в момент прохождения имположения равновесия:

ω = sqrt(2mgl*cos(α)/I).

Для нахождения линейной скорости точки В на стержне воспользуемся формулой для линейной скорости точки на вращающемся теле:

v = r*ω,

где r - расстояние от точки О до точки В. Поскольку стержень тонкий и однородный, то r = l/2. Подставляем найденное значение угловой скорости и находим линейную скорость точки В:

v = (l/2)sqrt(2mglcos(α)/I).