Точки М и N лежат соответственно на боковых сторонах AD и ВС трапеции ABCD так, что отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Докажите, что DC•MA + AB-MD = AD•MN.

Из условия задачи имеем, что MN || AD и MN || BC. Тогда треугольники AMD и BNC подобны, так как имеют параллельные стороны. Таким образом, мы можем записать следующее соотношение:

$\frac{MD}{DC} = \frac{MA}{AB} = \frac{AD-MD}{AB}$.

Отсюда получаем, что $MD = \frac{DC \cdot AD}{AB+DC}$ и $MA = \frac{AB \cdot AD}{AB+DC}$.

Теперь рассмотрим трапецию ABCD. По формуле для площади трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{AB+DC}{2} \cdot h$,

где h - высота трапеции. Так как MN || AD, то высота трапеции равна h = MN. Тогда площадь трапеции можно выразить как:

$S_{ABCD} = \frac{AB+DC}{2} \cdot MN$.

С другой стороны, площадь трапеции можно выразить как сумму площадей треугольников AMD и BNC:

$S_{ABCD} = S_{AMD} + S_{BNC} = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot MN + \frac{1}{2} \cdot NC \cdot MN$.

Подставляем найденные значения для MD и MA:

$\frac{AB+DC}{2} \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot \frac{DC \cdot AD}{AB+DC} \cdot MN + \frac{1}{2} \cdot \frac{AB \cdot AD}{AB+DC} \cdot MN$.

Упрощаем:

$AB+DC = \frac{DC \cdot AD}{AB+DC} + \frac{AB \cdot AD}{AB+DC}$.

Домножаем обе части на AB+DC:

$(AB+DC)^2 = DC \cdot AD + AB \cdot AD$.

Раскрываем скобки:

$AB^2 + 2AB \cdot DC + DC^2 = DC \cdot AD + AB \cdot AD$.

Переносим все члены в левую часть:

$AB^2 - AB \cdot AD + DC^2 - DC \cdot AD = 0$.

Таким образом, получаем, что $AB^2 - AB \cdot AD + DC^2 - DC \cdot AD = 0$, что равносильно $AB \cdot MA + DC \cdot MA = AD \cdot MN$.