Точки D и F делят стороны треугольника АВС так, что CD:DB=8:3, BF:FA=3:5. Прямая DF пересекает медиану ВЕ в точке N. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВFN=9.

Обозначим длины отрезков CD = 8x, DB = 3x, BF = 3y, FA = 5y. Тогда AC = 11x, AB = 8x + 3x = 11x, BC = 3y + 5y = 8y.

Так как точка N - точка пересечения медианы и прямой DF, то BN = 2NF. Таким образом, FN = 3, BN = 6, NE = 3.

Площадь треугольника ВЕН равна 1/3 площади треугольника ABC. Так как площадь треугольника ВFN равна 9, то площадь треугольника ВЕН равна 3.

Теперь рассмотрим треугольники BFN и BNE. Так как BN = 6, NE = 3, то BE = 9. Таким образом, площадь треугольника BFN равна 1/2 площади треугольника BNE. Следовательно, площадь треугольника BNE равна 18.

Так как площадь треугольника BNE равна 18, то площадь треугольника BAC равна 54.