Точка О – середина диагонали ВD четырёхугольника АВСD. Через неё параллельно его диагонали АС провели прямую. Она пересекла сторону АD в точке М. Докажите, что отрезок СМ делит площадь четырёхугольника пополам

Пусть точка О имеет координаты (x, y), где x и y - средние арифметические координат точек B и D соответственно.

Так как прямая, проходящая через точку О параллельна диагонали AC, то координаты точки О также являются средними арифметическими координат точек A и C.

Таким образом, координаты точки О равны ((x_A + x_C)/2, (y_A + y_C)/2), где x_A, y_A - координаты точки A, x_C, y_C - координаты точки C.

Так как точка М лежит на прямой, проходящей через точку О и параллельной диагонали AC, то координаты точки М также являются средними арифметическими координат точек A и D.

Координаты точки М равны ((x_A + x_D)/2, (y_A + y_D)/2), где x_D, y_D - координаты точки D.

Теперь найдем координаты точек О и М:

x = (x_B + x_D)/2 y = (y_B + y_D)/2

x = (x_A + x_C)/2 y = (y_A + y_C)/2

x_M = (x_A + x_D)/2 y_M = (y_A + y_D)/2

Так как x = (x_B + x_D)/2 и x = (x_A + x_C)/2, то x_B + x_D = x_A + x_C. Аналогично, y_B + y_D = y_A + y_C.

Таким образом, точки B, D, A, C лежат на одной прямой. Следовательно, отрезок СМ делит площадь четырёхугольника пополам.