сумма от n=1 до infinity от (n^2+1)/(n+2)^3

Для нахождения суммы данного ряда можно воспользоваться формулой для суммы ряда вида:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + 1}{(n+2)^3}$

Для начала разложим дробь на части:

$\frac{n^2 + 1}{(n+2)^3} = \frac{n^2}{(n+2)^3} + \frac{1}{(n+2)^3}$

Теперь найдем суммы каждой из частей ряда:

1. Сумма ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(n+2)^3}$:

Для нахождения суммы этой части ряда можно воспользоваться формулой для суммы ряда вида $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^k}{(n+a)^{k+1}}$, которая равна $\frac{a}{k}$.

В данном случае, $k = 2$ и $a = 2$, поэтому сумма этой части ряда равна:

$\frac{2}{2} = 1$

2. Сумма ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)^3}$:

Для этой части ряда также можно воспользоваться формулой для суммы ряда вида $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+a)^k}$, которая равна $\frac{\zeta(k) - \zeta(k,a)}{a^{k-1}}$, где $\zeta(k)$ - функция дзета Римана.

В данном случае, $k = 3$ и $a = 2$, поэтому сумма этой части ряда равна:

$\frac{\zeta(3) - \zeta(3,2)}{2^2} = \frac{\frac{\pi^3}{32} - \frac{9}{8}}{4} = \frac{\pi^3 - 36}{128}$

Таким образом, сумма ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + 1}{(n+2)^3}$ равна сумме сумм двух частей ряда:

$1 + \frac{\pi^3 - 36}{128}$