Стёпа купил 11 пирожных и решил поделиться ими с Петей -- для этого Стёпа может разрезать одно из пирожных на две части. Всегда ли Стёпа может добиться того, чтобы ему и Пете достались по 6 пирожных (целых или нет) равной совокупной массы, если изначально все 11 пирожных имели разные массы? Обоснуйте свой ответ.

Да, Стёпа всегда может добиться того, чтобы ему и Пете достались по 6 пирожных равной совокупной массы.

Пусть изначально у Стёпы есть 11 пирожных с массами a1, a2, ..., a11. Поскольку все пирожные имеют разные массы, то сумма их масс также будет разной. Пусть S обозначает сумму масс всех пирожных.

Если Стёпа разрежет одно из пирожных на две части, то у него будет 12 пирожных. При этом сумма масс всех пирожных также увеличится на массу этого разрезанного пирожного.

Таким образом, если Стёпа разрежет пирожное на две части так, чтобы после этого сумма масс всех пирожных стала равной 2S/2 = S, то он сможет добиться того, чтобы у него и Пети было по 6 пирожных равной совокупной массы.

Таким образом, Стёпа всегда может добиться желаемого результата, разрезая одно из пирожных на две части.