Стрелок стреляет в тире по восьми одинаковым мишеням. Вероятность попасть в каждую мишень при каждом выстреле одна и та же. Чтобы сбить все восемь мишеней, стрелку потребовалось 11 выстрелов. Какова вероятность того, что первыми пятью выстрелами стрелок сбил меньше четырёх мишеней?

Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением.

Пусть событие A - стрелок сбил меньше четырех мишеней первыми пятью выстрелами. Тогда вероятность события A равна: P(A) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3), где P(k) - вероятность сбить k мишеней первыми пятью выстрелами.

Вероятность сбить k мишеней из пяти первыми пятью выстрелами равна: P(k) = C(5, k) * p^k * (1-p)^(5-k), где p - вероятность попадания в одну мишень, C(n, k) - число сочетаний из n по k.

Так как стрелок сбил все мишени за 11 выстрелов, то p = 3/8 (вероятность попасть в мишень), а значит 1-p = 5/8.

Теперь можем вычислить вероятность P(A): P(0) = C(5, 0) * (3/8)^0 * (5/8)^5 = 1 * 1 * (3125/32768) = 3125/32768, P(1) = C(5, 1) * (3/8)^1 * (5/8)^4 = 5 * 3/8 * (625/4096) = 9375/32768, P(2) = C(5, 2) * (3/8)^2 * (5/8)^3 = 10 * 9/64 * (125/512) = 11250/32768, P(3) = C(5, 3) * (3/8)^3 * (5/8)^2 = 10 * 27/512 * (25/64) = 33750/32768.

Итак, P(A) = 3125/32768 + 9375/32768 + 11250/32768 + 33750/32768 = 57300/32768 = 2865/16384.

Ответ: вероятность того, что первыми пятью выстрелами стрелок сбил меньше четырех мишеней, равна 2865/16384.