Среди всех значений параметра a , при которых квадратное уравнение x2+5x+|a2+4a+3|+a имеет два различных корня, найдите значение, при котором модуль разности этих корней будет наибольшим.

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть больше нуля.

Для уравнения x^2 + 5x + |a^2 + 4a + 3| + a, дискриминант равен:

D = 5^2 - 41(|a^2 + 4a + 3| + a) = 25 - 4|a^2 + 4a + 3| - 4a

Для двух различных корней дискриминант должен быть больше нуля:

25 - 4|a^2 + 4a + 3| - 4a > 0

|a^2 + 4a + 3| < (25 + 4a)/4

Теперь найдем значение параметра a, при котором модуль разности корней будет наибольшим. Для этого найдем корни уравнения и выразим их разность:

x1 = (-5 + √(25 + 4|a^2 + 4a + 3| + 4a))/2 x2 = (-5 - √(25 + 4|a^2 + 4a + 3| + 4a))/2

|x1 - x2| = √(25 + 4|a^2 + 4a + 3| + 4a)

Таким образом, нам нужно найти такое значение параметра a, при котором √(25 + 4|a^2 + 4a + 3| + 4a) будет максимальным.

Для этого рассмотрим два случая:

1. Если a^2 + 4a + 3 ≥ 0, то |a^2 + 4a + 3| = a^2 + 4a + 3 Тогда √(25 + 4(a^2 + 4a + 3) + 4a) = √(29 + 16a + 4a^2) = √(4(a^2 + 4a + 7) + 1) = √(4((a + 2)^2 + 3) + 1) Максимальное значение будет достигаться при a = -2, когда √(4(1)^2 + 1) = √(5)

2. Если a^2 + 4a + 3 < 0, то |a^2 + 4a + 3| = -(a^2 + 4a + 3) = -a^2 - 4a - 3 Тогда √(25 + 4(-a^2 - 4a - 3) + 4a) = √(25 - 4a^2 - 16a - 12 + 4a) = √(13 - 4a^2 - 12a) Для этого случая максимальное значение не ограничено.

Таким образом, значение параметра a, при котором модуль разности корней будет наибольшим, равно √(5) при a = -2.