Спутник движется по круговой орбите на расстоянии от поверхности Земли, равном ее радиусу R. В некоторый момент со спутника запускается станция на другую планету, после чего оставшаяся часть спутника движется по эллиптической орбите, подходящей очень близко к поверхности Земли в точке, противоположной точке старта станции. Какую максимальную часть массы спутника может составлять масса межпланетной станции? Потенциальная энергия тела массы m в поле тяготения массы M равна Wп = -G mM/r В окошке с ответом запишите подробное решение задания или прикрепите файл с подробным решением.

Пусть масса спутника до запуска станции равна M, а масса станции равна m. Тогда после запуска станции масса спутника станет равной M - m.

Поскольку спутник движется по круговой орбите на расстоянии R от поверхности Земли, то его потенциальная энергия равна Wк = -G Mm/R.

После запуска станции спутник движется по эллиптической орбите, подходя очень близко к поверхности Земли в точке, противоположной точке старта станции. Пусть расстояние от центра Земли до этой точки равно r. Тогда потенциальная энергия спутника в этой точке равна Wэ = -G (M-m)M/r.

Поскольку энергия сохраняется, то Wк = Wэ:

-G Mm/R = -G (M-m)M/r

Mm/R = (M-m)M/r

m/R = M/r - m/r

m/r = M/r - m/R

m/r = (M - m)/R

mR = Mr - mr

mR + mr = Mr

m(R + r) = Mr

m = Mr / (R + r)

Таким образом, масса станции m должна составлять не более Mr / (R + r) от общей массы спутника M, чтобы спутник мог двигаться по эллиптической орбите после запуска станции.