Соня отметила красным вершины и середины сторон треугольника. Затем рядом с каждой красной вершиной она подписала по числу и посчитала суммы чисел, лежащих на каждой из сторон, и на каждом отрезке, соединяющем середины сторон. У неё получились следующие суммы: 8, 9, 11, 14, 15, 17. Какова наибольшая возможная сумма всех чисел, записанных Соней?

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойство треугольника, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Предположим, что наибольшая сумма будет, если мы сложим все числа, записанные Соней. Таким образом, сумма всех чисел будет равна 8 + 9 + 11 + 14 + 15 + 17 = 74.

Теперь давайте посмотрим, можно ли построить треугольник с такими длинами сторон. Для этого проверим выполнение неравенства треугольника для каждой тройки чисел:

8 + 9 > 11 - выполняется 8 + 11 > 9 - выполняется 9 + 11 > 8 - выполняется

Таким образом, мы можем построить треугольник с такими длинами сторон, и наибольшая возможная сумма всех чисел, записанных Соней, равна 74.