SABC правильная треугольная пирамида, T середина ребра АВ.BP/PS = 2/3, BQ / QC = 3/4 На прямых ТР и SQ выбраны соответственно точки N и М так, что MN||SC. Найти длину бокового ребра пирамиды, если MN = 12 Решить векторным способом

Обозначим векторы $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5}\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AQ} = \frac{3}{7}\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AS} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AT} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$, $\overrightarrow{AR} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$, $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \frac{3}{5}\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AM} = \frac{3}{5}\overrightarrow{a} + \frac{3}{5}\overrightarrow{b}$.

Так как $MN \parallel SC$, то $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AS} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$.

Также, $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \frac{3}{5}\overrightarrow{a} + \frac{3}{5}\overrightarrow{b} - \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \frac{3}{5}\overrightarrow{a}\right) = \frac{1}{10}\overrightarrow{a} + \frac{1}{10}\overrightarrow{b}$.

Из условия $MN = 12$ получаем $\frac{1}{10}|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = 12$, откуда $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = 120$.

Так как $AT = \frac{1}{2}AS$, то $\overrightarrow{AT} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AS} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$.

Также, $\overrightarrow{AT} = \overrightarrow{AR} + \overrightarrow{RN} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{RN}$.

Отсюда $\overrightarrow{RN} = \frac{4}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$.

Так как $RN \parallel AB$, то $\overrightarrow{RN} = k\overrightarrow{AB}$ для некоторого $k$.

Следовательно, $\frac{4}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a}$.

Отсюда $k = \frac{4}{5}$.

Так как $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$, то $|\overrightarrow{RN}| = \frac{4}{5}|\overrightarrow{AB}| = \frac{4}{5}|\overrightarrow{a}| = \frac{4}{5}|\overrightarrow{b}| = \frac{4}{5}|\overrightarrow{AB}|$.

Таким образом, $RN = \frac{4}{5}|\overrightarrow{AB}| = \frac{4}{5} \cdot 120 = 96$.

Итак, длина бокового ребра пирамиды равна $RN = 96$.