SABC правильная треугольная пирамида, T середина ребра АВ.BP/PS = 2/3, BQ / QC = 3/4 На прямых ТР и SQ выбраны соответственно точки N и М так, что MN||SC. Найти длину бокового ребра пирамиды, если MN = 12 Решить через вектора

Обозначим векторы следующим образом:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5}\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AQ} = \frac{3}{7}\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AS} = \overrightarrow{b} - \frac{3}{7}\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AT} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{b} - \frac{3}{7}\overrightarrow{a}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \frac{3}{14}\overrightarrow{a} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \frac{3}{14}\overrightarrow{a}$.

Так как $MN || SC$, то $\overrightarrow{MN} = k\overrightarrow{SC}$ для некоторого $k$. Также, $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M}$, $\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{S}$. Таким образом, $\overrightarrow{N} = \overrightarrow{M} + k(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{S})$.

Так как $\overrightarrow{N} = \overrightarrow{T} + \overrightarrow{TR}$ и $\overrightarrow{M} = \overrightarrow{S} + \overrightarrow{MQ}$, то $\overrightarrow{T} + \overrightarrow{TR} = \overrightarrow{S} + \overrightarrow{MQ} + k(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{S})$.

Подставим все векторы и найдем $k$:

$\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \frac{3}{14}\overrightarrow{a} + k(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{S}) = \overrightarrow{S} + \frac{3}{7}\overrightarrow{a} + k(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{S})$.

Сгруппируем векторы:

$\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \frac{3}{14}\overrightarrow{a} = \frac{3}{7}\overrightarrow{a}$,

$\frac{1}{2}\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{C} = \overrightarrow{S} + k\overrightarrow{C}$.

Отсюда получаем, что $\frac{1}{2} - \frac{3}{14} = \frac{3}{7}$ и $\frac{1}{2} + k = 1$, откуда $k = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем длину бокового ребра пирамиды:

$|\overrightarrow{MN}| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{SC}| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{b} - \frac{3}{7}\overrightarrow{a}| = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{b} - \frac{3}{7}\overrightarrow{a}\right| = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{b}|^2 - 2\overrightarrow{b} \cdot \frac{3}{7}\overrightarrow{a} + \left(\frac{3}{7}\right)^2|\overrightarrow{a}|^2}$.

Так как $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|\cos{\angle{BAC}} = |\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|\cos{90^\circ} = 0$, то остается:

$\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{b}|^2 + \frac{9}{49}|\overrightarrow{a}|^2} = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{b}|^2 + \frac{9}{49}|\overrightarrow{b}|^2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{58}{49}|\overrightarrow{b}|^2} = \frac{\sqrt{58}}{14}|\overrightarrow{b}|$.

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды равна $\frac{\sqrt{58}}{14}|\overrightarrow{b}|$.