Решите уравнение 2^2+у^2- 2х+6y = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее Значение выражения х - Зу.

Данное уравнение можно переписать в виде:

y^2 + 6y + (2^2 - 2x) = 0

y^2 + 6y + 4 - 2x = 0

Сначала найдем корни уравнения:

D = 6^2 - 41(4-2x) = 36 - 4(4-2x) = 36 - 16 + 8x = 20 + 8x

Так как D должно быть квадратом целого числа, то D = k^2, где k - целое число.

20 + 8x = k^2

8x = k^2 - 20

x = (k^2 - 20) / 8

Так как x - целое число, то k^2 - 20 должно быть кратно 8. Подставим различные целые значения k и найдем соответствующие x:

1. k = 2: x = (2^2 - 20) / 8 = (-16) / 8 = -2
2. k = 4: x = (4^2 - 20) / 8 = (16 - 20) / 8 = -0.5 (не целое число)
3. k = 6: x = (6^2 - 20) / 8 = (36 - 20) / 8 = 2
4. k = 8: x = (8^2 - 20) / 8 = (64 - 20) / 8 = 5

Таким образом, возможные значения x: -2, 2, 5.

Теперь найдем соответствующие значения y:

1. x = -2: y^2 + 6y + 4 - 2*(-2) = y^2 + 6y + 4 + 4 = y^2 + 6y + 8 = 0 (нет целых корней)
2. x = 2: y^2 + 6y + 4 - 2*2 = y^2 + 6y + 4 - 4 = y^2 + 6y = 0 => y(y + 6) = 0 => y = 0 или y = -6
3. x = 5: y^2 + 6y + 4 - 2*5 = y^2 + 6y + 4 - 10 = y^2 + 6y - 6 = 0 => y(y + 6) - 6 = 0 => y = 1 или y = -7

Таким образом, уравнение имеет два решения в целых числах: (x, y) = (2, 0) и (x, y) = (5, 1).

Выразим выражение x - 2y для каждого решения:

1. (2, 0): 2 - 2*0 = 2
2. (5, 1): 5 - 2*1 = 3

Наибольшее значение выражения x - 2y равно 3.