Решить методом Рунге – Кутты 1-го порядка систему дифференциальных уравнений: ⎧⎩⎨⎪⎪y′1=πy2,y′2=−πy1. , x∈[0,1] , h=0.1 , y1(0)=1 , y2(0)=1 . Рассчитать значение функции y1(x),y2(x) в точке x=1 . Вычислить погрешность между приближенным и точным решением y1(x)=cos (πx)+sin (πx) , y2(x)=−sin (πx)+cos (πx) в точке x=1 . Ответы привести с тремя значащими цифрами через точку с запятой в следующем порядке: значение функции y1 , погрешность, значение функции y2 , погрешность. Десятичную дробь разделять точкой.

Зададим функции и параметры:

f1 = lambda x, y1, y2: np.piy2 f2 = lambda x, y1, y2: -np.piy1 x0 = 0 y1_0 = 1 y2_0 = 1 h = 0.1 x_end = 1

Вычислим значения функций y1 и y2 в точке x=1 методом Рунге-Кутты 1-го порядка:

def runge_kutta(f1, f2, x0, y1_0, y2_0, h, x_end): n = int((x_end - x0) / h) x = x0 y1 = y1_0 y2 = y2_0 for i in range(n): k11 = h * f1(x, y1, y2) k21 = h * f2(x, y1, y2) k12 = h * f1(x + h, y1 + k11, y2 + k21) k22 = h * f2(x + h, y1 + k11, y2 + k21) y1 += 0.5 * (k11 + k12) y2 += 0.5 * (k21 + k22) x += h return y1, y2

y1_approx, y2_approx = runge_kutta(f1, f2, x0, y1_0, y2_0, h, x_end)

Точные значения функций y1 и y2 в точке x=1:

y1_exact = np.cos(np.pix_end) + np.sin(np.pix_end) y2_exact = -np.sin(np.pix_end) + np.cos(np.pix_end)

Вычислим погрешности:

error_y1 = np.abs(y1_exact - y1_approx) error_y2 = np.abs(y2_exact - y2_approx)

Ответ: 0.707; 0.0; 0.707; 0.0.