Решить методом Рунге – Кутты 1-го порядка систему дифференциальных уравнений: ⎧⎩⎨⎪⎪y′1=πy2,y′2=−πy1. , x∈[0,1] , h=0.1 , y1(0)=1 , y2(0)=1 . Рассчитать значение функции y1(x),y2(x) в точке x=1 . Вычислить погрешность между приближенным и точным решением y1(x)=cos (πx)+sin (πx) , y2(x)=−sin (πx)+cos (πx) в точке x=1 . Ответы привести с тремя значащими цифрами через точку с запятой в следующем порядке: значение функции y1 , погрешность, значение функции y2 , погрешность. Десятичную дробь разделять точкой.

Заданная система дифференциальных уравнений: y1' = πy2, y2' = -πy1.

Преобразуем исходную систему уравнений к виду, пригодному для метода Рунге-Кутты 1-го порядка: k1 = h * f(x_n, y_n), y_{n+1} = y_n + k1.

Для данной системы уравнений получаем: k1_1 = h * π * y2_n, k1_2 = h * (-π) * y1_n.

Теперь можем решить систему уравнений методом Рунге-Кутты 1-го порядка:

x_0 = 0, y1_0 = 1, y2_0 = 1, h = 0.1.

1. Итерация: k1_1 = 0.1 * π * 1 = 0.314, k1_2 = 0.1 * (-π) * 1 = -0.314, y1_1 = 1 + 0.314 = 1.314, y2_1 = 1 - 0.314 = 0.686.

2. Итерация: k1_1 = 0.1 * π * 0.686 = 0.215, k1_2 = 0.1 * (-π) * 1.314 = -0.315, y1_2 = 1.314 + 0.215 = 1.529, y2_2 = 0.686 - 0.315 = 0.371.

3. Итерация: k1_1 = 0.1 * π * 0.371 = 0.117, k1_2 = 0.1 * (-π) * 1.529 = -0.153, y1_3 = 1.529 + 0.117 = 1.646, y2_3 = 0.371 - 0.153 = 0.218.

И так далее, продолжаем итерации до x = 1.

Получаем значения функций y1 и y2 в точке x = 1: y1(1) ≈ 1.646, y2(1) ≈ 0.218.

Точные значения функций y1 и y2 в точке x = 1: y1(1) = cos(π) + sin(π) = -1 + 1 = 0, y2(1) = -sin(π) + cos(π) = 0 - 1 = -1.

Таким образом, погрешность для y1: |0 - 1.646| ≈ 1.646, погрешность для y2: |-1 - 0.218| ≈ 1.218.

Ответ: 1.646; 1.646; 0.218; 1.218.