Ребро куба ABCDA₁B₁C₁1 D₁ равно 1 см. Точка M — середина ребра A₁D₁, а на ребре A₁B₁ отмечена точка N так, что B₁N : A₁N = 1 ∶ 4. Найдите косинус угла между прямыми BN и AM. Значение косинуса представьте в виде \frac{m}{\sqrt{n}} n ​ m ​ , где m и n — целые числа.

Для начала найдем длину отрезка BN. Поскольку B₁N : A₁N = 1 : 4, то BN = 1/5 * A₁B₁ = 1/5 * 1 = 1/5 см.

Теперь найдем длину отрезка AM. Поскольку M — середина отрезка A₁D₁, то AM = 1/2 * A₁D₁ = 1/2 * 1 = 1/2 см.

Теперь найдем скалярное произведение векторов BN и AM: BN * AM = |BN| * |AM| * cos(угол между векторами).

|BN| = 1/5, |AM| = 1/2.

cos(угол между векторами) = (BN * AM) / (|BN| * |AM|) = (1/5 * 1/2) / (1/5 * 1/2) = 1.

Таким образом, косинус угла между прямыми BN и AM равен 1.

Ответ: \frac{1}{\sqrt{1}} = \frac{1}{1} = 1.