Расставьте цифры от 0 до 5 в ряд так, чтобы любые две соседние цифры образовывали двузначное число, кратное 3 или 5 (двузначное число не может начинаться с 0). Найдите все такие расстановки. Докажите, что других нет.

Одной из возможных расстановок цифр от 0 до 5 является: 3, 0, 5, 4, 2, 1.

Докажем, что других расстановок не существует. Рассмотрим возможные варианты для первой цифры:

1. Если первая цифра 0, то следующая цифра должна быть 5, чтобы образовать число, кратное 5. Затем следует цифра 3, чтобы образовать число, кратное 3. Остаются цифры 1, 2, 4, которые не могут быть расставлены так, чтобы образовывались числа, кратные 3 или 5.
2. Если первая цифра 3, то следующая цифра должна быть 0 или 5. Если следующая цифра 0, то следующая должна быть 5, чтобы образовать число, кратное 5. Остаются цифры 1, 2, 4, которые не могут быть расставлены так, чтобы образовывались числа, кратные 3 или 5.
3. Если первая цифра 5, то следующая цифра должна быть 0 или 3. Но в этом случае не удастся построить последовательность из оставшихся цифр 1, 2, 4, которая бы образовывала числа, кратные 3 или 5.

Таким образом, единственной возможной расстановкой цифр от 0 до 5, удовлетворяющей условиям задачи, является 3, 0, 5, 4, 2, 1.