Пусть — ABCD выпуклый четырёхугольник, в котором угол DAC =30°, угол BDC =50° угол CBD =15° и BAC = 75°. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке P Найдите величину угла APD. Ответ дайте в градусах.

Из условия задачи угол BAC = 75°, угол DAC = 30°, угол CBD = 15° и угол BDC = 50°.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол ABC = 180° - 75° - 15° = 90°.

Также из условия угол DAB = 180° - 75° - 30° = 75°.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. По теореме синусов:

AB/sin(75°) = BC/sin(90°) => AB = BC * sin(75°).

Также по теореме синусов в треугольнике ACD:

AD/sin(30°) = AC/sin(75°) => AD = AC * sin(30°).

Из теоремы синусов в треугольнике BCD:

BD/sin(50°) = BC/sin(15°) => BD = BC * sin(50°) / sin(15°).

Теперь рассмотрим треугольник APD. По теореме синусов:

AD/sin(APD) = PD/sin(DAP).

Подставим найденные значения:

AC * sin(30°) / sin(APD) = PD / sin(75°).

PD = AC * sin(30°) * sin(75°) / sin(APD).

Теперь рассмотрим треугольник BPC. По теореме синусов:

BC/sin(BPC) = PC/sin(CPB).

Подставим найденные значения:

BC * sin(75°) / sin(BPC) = PC / sin(50°).

PC = BC * sin(75°) * sin(50°) / sin(BPC).

Так как PD = PC, то:

AC * sin(30°) * sin(75°) / sin(APD) = BC * sin(75°) * sin(50°) / sin(BPC).

Упростим:

sin(30°) / sin(APD) = sin(50°) / sin(BPC).

sin(APD) = sin(30°) * sin(BPC) / sin(50°).

APD = arcsin(sin(30°) * sin(50°) / sin(50°)) ≈ 18.43°.

Итак, угол APD ≈ 18.43°.